[BOJ] 17626번: Four Squares

https://www.acmicpc.net/problem/17626

17626번: Four Squares

문제

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52와 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.
자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

 

입력

입력은 표준 입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다.

여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

 

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

 

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풀이

📌 다이나믹프로그래밍 (동적 계획법)

주어진 문제를 부분 문제로 나누어 각 부분 문제의 답을 계산하고,

이 계산한 결과값을 이용해 원래 문제의 답을 구한다.

 

27을 예로 들면,

27보다 작은 제곱수는 1, 4, 9, 16, 25이다.

27에서 이 제곱수들을 빼면 26, 23, 18, 11, 2이고

이 수들의 최소 개수의 제곱수 합 중 최소값에 1을 더해준 값이 27의 최소 개수의 제곱수 합이다.

즉, dp[27]은 27-dp[1], 27-dp[4], 27-dp[9], 27-dp[16], 27-dp[25] 중 최솟값에 1을 더한 값이다.

 

코드

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false); 
  cin.tie(NULL); 
  cout.tie(NULL);
  
  int n;
  cin >> n;
  vector<int> dp(n+1, 0);
  dp[1] = 1;
  
  for(int i = 2; i <= n; i++) {
    int cnt = 300; 
    for(int j = 1; j*j <= i; j++) {
      int a = i - j*j;
      cnt = min(cnt, dp[a]);
    }

    dp[i] = cnt + 1;
  }

  cout << dp[n];
}

 

결과

 

분할 정복과 비슷하고 유용한 개념이므로 잘 기억해두자.